Теперь это моя любимая кривая.

- Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
- Длина арки циклоиды равна 8r.
- Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга.
- «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
- Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды. (странно, у математического маятника, где грузик описывает окружность (дугу), тоже период не зависит от амплитуды)

http://ru.wikipedia.org/wiki/Циклоида

Геометрия... с самого начала её любил.